MUTLAK DEĞER

Matematikte, mutlak değer (ya da mutlak değer fonksiyonu) bir gerçel
sayının işaretsiz sayısal değerini verir. Örneğin, 3; hem 3'ün hem de
−3'ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu fonksiyonu ifade etmek
için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(...)'dir (Örneğin:
abs(−=|−8|=8 gibi).
Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılarla kullanımı dışında, geniş
bir matematiksel kullanım alanı vardır. Örneğin, mutlak değer karmaşık
sayılar gibi kümeler için de tanımlanabilir.

Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılardaki grafiği.

Gerçel sayılar
Her a, gerçel sayısının mutlak değeri | a | , şeklinde ifade edilir ve şu şekilde tanımlanır:
Yukarıda da görüldüğü gibi a'nın mutlak değeri ya artı ya da sıfır değerini alacak, hiçbir zaman eksi değeri almayacaktır.
Geometrik anlamda, bir gerçel sayının mutlak değeri onun sayı
doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Daha genel anlamdaysa mutlak değer
iki reel sayı arasındaki farkı, sayı doğrusunda aralarındaki uzaklık
olarak verir.
Aşağıdaki yordamlar bir mutlak değerin çözümünde yardımcı olabilecek önermeler içerir.
1. ÖNERME:

2. ÖNERME:
Mutlak değer aşağıdaki dört temel özelliğe sahiptir:
Negatif olmamaSıfır eşitliğiÇarpanlara ayrılabilmeSchwarz Eşitsizliği
3. ÖNERME:
Mutlak değerin diğer önemli özellikleri ise:
Simetria ve b eştirÜçgen eşitsizliğiBölmenin ayrılması (çarpanlara ayrılabilirlik gibi)(Alt toplananlara ayrılabilirlik)
Diğer iki kullanışlı eşitsizlikler ise:

Aşağıdakilerse genelde eşitsizlik çözümünde kullanılır; örneğin:
Karmaşık sayılar

Karmaşık sayılara kadar olan kısımda, verilen mutlak değer özellikleri
karmaşık sayılar kümesine aynen uygulanamaz. Önerme 1'i ele alırsak:
her gerçel sayının bir karmaşık sayı olduğunu ve,
bir karmaşık sayının
olduğunu düşünürsek göreceğiz ki, gerçel sayılarda y katsayısı 0'a
eşit. Öyleyse gerçekte z'nin mutlak değer (ya da karmaşık sayılarda
bazen modül olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanabilir.
Öyleyse bir gerçel sayıda bu işlemi şöyle gerçekleştirebiliriz:
Mutlak değer bir sayının orijine uzaklığını verir. Karmaşık sayılar iki
boyutlu düzlem üzerinde incelendiğinden Pisagor teoremi iki nokta
arasındaki uzaklığı bulmada işimize yarayacaktır.Karmaşık düzlemde iki
karmaşık sayı arasındaki uzunluğu bulmak içinse aynı gerçel sayılardaki
gibi iki sayının farkının mutlak değerini alırız.
Karmaşık sayılar yukarıda verilen 2. ve 3. önermelerin tüm özelliklerini taşır.